中国教育

　　北京林业大学理学院 司林：

　　听了李尚志教授的精彩讲解后，我感觉“线性代数”不再是抽象的，而是具体的，是距离学生很近的。通过培训，我对“线性代数”以及“大学数学”课程有几点体会。

　　第一，中学教育与大学教育的衔接问题。大多数高校现在用的《线性代数》教材都是二三十年前的版本，有的虽然不断地出了第二版、第三版以致更高的版本，但是基本的内容体系还是十几年甚至几十年前的（指内容的编排体系以及中学与大学在相关内容方面的重合度）。但是，中学的课本这些年加入了不少新的元素，比如微积分入门、古典概率、初步的统计知识，甚至一些简单的数理逻辑。当然，也有一些在大学里很重要的知识，比如三角函数之间的变形公式等被中学取消或弱化可。我有个建议，我们的大学数学教学指导委员会是否可以与中学的数学教学指导委员会开些联席会议，解决类似的、需要不断解决的问题（大学教育和中学教育按各自的规律不断发展，所以这是动态的，出现问题需要不断地被解决），我们的教育主管部门是否应该从更长的教育链条角度出发来规划各个教育阶段的数学乃至其他学科的教学。

　　第二，分层次教授“线性代数”的内容。听了李尚志教授的课，我现在对线性代数的一点认识是：二维以及三维的线性代数内容是和学生中学知识结合最密切的大学数学课程，不论是从内容上讲还是从几何本质上来谈。二维以及三维的线性代数就是中学的二元及三元线性方程组，就是高中空间解析几何里的直线方程、二次曲线（对应于大学的二元二次型），如果我们趁热打铁，来个“新瓶装旧酒”（内容不变，方法变了，当然新方法体现了重要的思想），二维以及三维的线性代数完全可以放到大学一年级来教。但是，大学的线性代数是n维的，维数的突增可能是让学生头疼的一个重要根源。那么，我们可否把n维的线性代数作为二维和三维线性代数的后续课程，供学有余力的同学或需要的专业来选修，就像国外的一些大学把微积分也分为一元和多元两门课程来讲授那样。

　　第三，几何在代数教学中的重要性。正如李尚志教授所讲：空间解析几何是三维的线性代数，线性代数是n维的解析几何。从数学的角度讲现在的线性代数课所面临的最大的问题就是几何思想薄弱。几何、代数这是中学数学的两大支柱，地位相当，在教学与平时的练习中，中学老师也强调了代数问题最好要有辅助图形，几何问题通过坐标可以转换为方程，即转换为代数问题，这种观念的传输，中学教师功不可没。可是到了大学，薄弱的几何和抽象的n维的代数形成了明显的对比，好比我们在研究一个人，整天在讨论他的思想如何（代数），而完全忘却了人的思想是要他的躯壳（几何）来承载的。李尚志教授将几何思想融入大学数学的教学思想很精彩：比如，从几何的角度引出二元一次方程组的克莱姆法则，进而点出二阶行列式的几何意义；再比如，最小二乘法，大多数学生是通过多元函数的极值了解到的，只知道应用求导数的规则，而忽视了它的几何背景，而事实上“点到面的距离以垂线为最短”才是最小二乘法的几何灵魂，而垂直的概念正好可以通过內积运算来实现，所以最小二乘法体现在代数上就是解由几何想法得到的线性代数方程组。

　　第四，数学是要把复杂变简单。这是李尚志教授在培训中点到的很重要的一个观点。现实的情况是，学生往往感到数学就是概念加概念，运算再运算，越来越抽象，越来越复杂。李老师在解决这样的问题时显示出了很高的数学成熟性。比如，他把矩阵分块运算的技巧作为一种思想而又不把它点破，通过分块的思想引出矩阵的乘法这个让众多学生犯愁的运算，真正是“润物细无声”。还有，他说微积分最重要的事情就是线性化，剩下的任务由线性代数来完成。另外，如果对函数线性化后简化过了头，可以多项式化，可以请出泰勒公式。所以，那个要求许多项幂函数和的泰勒公式不是要把函数变复杂，而是要把它变简单，变成多项式，当然最好变成线性多项式。

　　总之，两天的培训让我学到了很多，对一些老问题也有了新的看法。教师最重要的任务是让学生领会你讲的内容，而不是记忆这些东西，我们应该让一些重要的数学思想深入到他们的骨髓里，而不仅仅是在考试的那段时间里让他们的头脑里充满那些抽象的概念。李老师已过花甲之年，依然坚持在教学一线，依然在不断总结新的教学经验，不断更新自己的教案，无私的为年轻人传授他的教学经验与心得，可见大师也不是一日之功就可练成，作为高校里的青年教师，我们任重道远。