中国教育

　　二、在“数学文化”课中实施素质教育及培养创新思维

　　可以说，实施素质教育是“数学文化”课的精髓，培养创新思维是“数学文化”课的亮点。以下举例说明如何在“数学文化”课中实施素质教育及培养学生的创新思维。

　　例一，有限与无限的问题

　　与初等数学相比，高等数学更多地采用“无限”的手段和工具，更多地在“无限”的领域中进行研究。例如，“取极限”、“求导”、“求定积分”，都是采用“无限”的手段和工具。所以，让学生了解“无限”与“有限”有何本质的区别，又有何联系，是很重要的。关于“无限”与“有限”的本质区别，我们在教学中用“有无限个房间”的旅馆的例子作为知识载体，鼓励学生的独立思考，在师生互动中培养学生的创新思维。

　　客观世界的旅馆都只有有限个房间，客满以后再来客人就无法安排了，老板只好请客人到别的旅馆去住。但是，“有无限个房间”的旅馆则不然，客满以后再来客人仍然可以安排；从而看出“无限”与“有限”的本质区别。当然，“有无限个房间”的旅馆是人脑的产物。假设一个房间只住一个客人。所谓“客满”，就是有无穷个客人，住进了这无穷个房间，每一个房间都有人住（为简单起见，这里所说的“无穷”均指“可数无穷”）。我们在课堂上分以下三个层次提出问题，师生互动，逐渐深入，培养学生的创新思维。

　　（1） 这样的旅馆客满后又来了1位客人，老板能否安排？

　　这时，老板可以先让原来房间里的客人都出来，然后重新安排，让1号房间的客人搬到2号房间去住，让2号房间的客人搬到3号房间去住，让3号房间的客人搬到4号房间去住，等等，让k号房间的客人搬到k+1号房间去住；这样原来的客人就都有房间住了，而1号房间就空出来了，可以让新来的客人去住（这段叙述如图1所示）。

　　图1  已经客满的旅馆如何再安排1位旅客

　　这样，原来在“有穷”的情况下做不到的事情，在“无穷”的情况下就做到了。由此看出，“无限”与“有限”有本质的区别。

　　（2） 这样的旅馆客满后又来了一个旅游团，旅游团中有无穷个客人，老板能否安排？

　　这时，老板可以先让原来房间里的客人都出来，然后重新安排，让1号房间的客人搬到2号房间去住，让2号房间的客人搬到4号房间去住，让3号房间的客人搬到6号房间去住，等等，让k号房间的客人搬到2k号房间去住；这样原来的客人就都有房间住了，而只占了偶数号房间，所有的奇数号房间都空出来了；有无穷多个奇数，这无穷个房间，正好可以让新来的无穷个客人去住（这段叙述如图2所示）。

 　　图2  已经客满的旅馆如何再安排1个具有无穷客人的旅行团

　　(3）这样的旅馆客满后又来了一万个旅游团，每个团中都有无穷个客人，老板能否安排？

　　这时，老板可以先让原来房间里的客人都出来，然后重新安排，让1号房间的客人搬到10001号房间去住，让2号房间的客人搬到20002号房间去住，让3号房间的客人搬到30003号房间去住，等等，让k号房间的客人搬到10001×k 号房间去住，这样原来的客人就都有房间住了（这段叙述如图3所示）。

　　图3  已经客满的旅馆如何再安排1万个具有无穷客人的旅行团

　　同时，给出了10000个、又10000个的空房间 ，第一个10000个空房间 ，可以让新来的10000个旅游团每个团的第1号客人住，第二个10000个空房间 ，可以让新来的10000个旅游团每个团的第2号客人住，等等；第k个10000个空房间 ，可以让新来的10000个旅游团每个团的第k号客人住，于是新来的10000个旅游团中每一个客人就都有房间住了。