众所周知，素数是指在大于1的自然数中，只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7、11、13、17……素数神出鬼没，分布得极不规则，而且无穷无尽。

　　千百年来，人类对素数的探索从未停止过。古希腊数学家欧几里得、数学王子高斯、天才数学家欧拉以及“业余数学家之王”费马……都曾痴迷于素数的无穷魅力，坚持不懈地探索着素数神秘表象背后潜藏的奥秘，努力寻求着通往未知的道路。

　　令人遗憾的是，虽然人类早在2500多年前就发现了素数，但是时至今日仍然未能完全揭开罩在素数上的神秘面纱，依然有许多素数之谜等待我们去破解。

　　欧几里得的证明

　　素数的个数是有限的还是无限的?

　　随着数字的增大，素数的分布变得越来越稀疏，寻找素数也变得越来越困难。那么，会不会在超过某个界限之后就再也不存在素数了呢？还是说，素数是无穷的，不管数字有多大，还是会零星地跳出几个素数呢？

　　古希腊的数学家欧几里得，用一个非常简单的方法回答了这个问题，证明了素数有无限多个。

　　欧几里得认为：假设素数是有限的，只有“2、3、5”这3个素数。那么，其余的所有自然数都是这3个素数的乘积，都是合数（参照第26页“1是素数吗？”）。也就是说，其他所有自然数都能被2、3或5整除①。这3个素数的乘积再加1为31（2×3×5+1=31），不管用2，还是用3或5都无法整除，余数都为1。这一结果与①相悖，所以“只有3个素数”的假设是错误的。

　　那么，我们来增加素数的个数，假设只有“2、3、5、7”这4个素数。这4个素数的乘积加1为2×3×5×7+1=211，既不能被2和3整除，也不能被5和7整除。也就是说，在假设的有限个素数之外，还存在着其他素数。

　　显然，不管怎样增加素数的个数，得到的结论都相同。只要假设素数是有限的，用上述方法（所有素数相乘再加1）就永远可以得到一个这些素数无法整除的素数。因此，“素数的个数是有限的”这一假设不成立。既然如此，素数也就应该有无穷多个。