《美国数学会会志》和《纽约时报》谈数学证明背后的故事

　　2006年度国际数学家大会即将于8月22日至30日在西班牙首都马德里召开，庞加莱猜想将是本次大会受关注的焦点。据2006年国际数学家大会官方网站介绍，在本届大会上，庞加莱猜想很有可能被宣布成为庞加莱定理，本届大会也会因此载入史册。在会议召开前夕，隐士般的俄国数学家格里高利·佩雷尔曼依然消失在圣彼得堡的森林里，而他是否会获得四年一度的菲尔茨奖一时间众说纷纭。

　　9月号的《美国数学会会志》发表题为《不再猜想？正在形成之中的庞加莱猜想和几何化猜想的共识》的长篇文章，文章已经张贴在美国数学会的网站上，文章讲述了庞加莱猜想和几何化猜想被证明的过程；8月15日出版的《纽约时报》也发表题为《捉摸不透的证明 捉摸不透的证明人》的长篇综述文章，以佩雷尔曼为主线，回顾了庞加莱猜想的证明过程。但是，佩雷尔曼甚至不回复本年度国际数学家大会组委会请他作大会报告的邀请。

　　庞加莱猜想的证明中有中国数学家的贡献。本报选编了《美国数学会会志》和《纽约时报》的文章，以飨读者。

　　消失在圣彼得堡的森林里

　　“格里高利·佩雷尔曼，你在哪里？”这是《纽约时报》文章的第一句话。

　　文章指出，3年前，俄罗斯数学家佩雷尔曼宣布他解开了著名而难解的数学问题——庞加莱猜想。但是，在网上贴出了几篇论文和在美国作了一次旋风般的演讲后，2003年春天，佩雷尔曼便消失在俄罗斯的森林里，不回复电子邮件和邀请，千呼万唤不出来。佩雷尔曼的论文技术性很强又过于简略，只有极少数数学家能够阅读，于是，全世界的数学家们一行一行地解读这些论文，以确定他的观点是否正确。

　　今天，数学家们最终完成了对佩雷尔曼论文的解释，3篇像书一样厚的论文在学者们手中流传，这些总共长达1000多页的文章中充满了密集的数学公式和文字。结果越来越明显，数学家们以谨慎乐观的态度认为，他们最后完成的不仅是数学上的一个里程碑，而且是人类思想上的一个里程碑。

　　美国耶鲁大学的数学家布鲁斯·克莱纳(Bruce Kleiner)在过去3年中一直在帮助解释佩雷尔曼的工作，他说：“这真是数学上一个伟大的时刻。”美国哈佛大学的数学家丘成桐今年6月在北京举行一次演讲时表示，对庞加莱猜想提出的三维空间的认识将是21世纪数学上的一个重要基石。

　　但是，在自己的论文赢得胜利的这一时刻，却不见佩雷尔曼的踪影。《纽约时报》的文章指出，在下周二举行的国际数学家大会上，他有50%以上的可能获得数学诺贝尔奖——菲尔茨奖，但没有任何迹象表明他会出席本次大会。美国克莱数学研究所曾在2000年5月将庞加莱猜想和黎曼猜想等并列为七大数学世纪难题，为每道题的证明设奖金100万美元，如今，克莱数学研究所所长詹姆士·卡尔森(James Carlson)说，如果佩雷尔曼赢得全部和部分克莱奖金而又拒绝接受，那么研究所会考虑将奖金用于支持俄国数学家、俄罗斯科学院斯捷克洛夫数学所，甚至是国际数学奥林匹克竞赛。

　　天才的思想

　　法国数学家庞加莱曾经说过：“创思虽然只是漫漫长夜中的灵光一闪，但这便是一切。”

　　1904年，庞加莱提出有关空间几何结构的猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。这就是著名的“庞加莱猜想”。丘成桐在接受《科学时报》专访时说：“三维空间是人类生存于其中的空间，是最重要也是最难于研究的空间。”

　　庞加莱猜想表面简单，实则令人迷惑，它的基础是拓扑学。《纽约时报》的文章指出，数学家们为了这个问题的证明已经等了100多年，他们承认也许还要等上100年的时间，才能完全明白这个问题对数学和物理学的全部意义。如今，他们说这个问题还只是像艺术品或引人入胜的歌剧一样美丽。美国哥伦比亚大学的约翰·摩根(John Morgan)是填补佩雷尔曼工作的数学家之一，他说，庞加莱猜想的证明需要拓扑学领域以外的工具，需要用几何或分析的方法来证明这个拓扑学问题。

　　在《纽约时报》的文章中摩根说，激动人心的并不是这个问题的最终证明，因为每个人都感觉到它是正确的，激动人心的是证明所用的方法“发明了数学中两个不相关领域之间深刻的联系”。

　　提出这种深刻联系猜想的人是美国康奈尔大学的数学家威廉·瑟斯顿(William Thurston)，他说：“数学是真正的人类思维，它涉及人类如何能有效地思考，这就是为什么好奇心是一个好向导的道理。”他认为好奇心与人类直觉紧密相连。

　　1970年，瑟斯顿提出几何化猜想，指出庞加莱猜想只是几何化猜想的一个特例。几何化猜想是一个有关三维空间几何化的更强大、更普遍的猜想，认为任何空间都可还原成少数几个基本的图形。《美国数学会会志》的文章认为，瑟斯顿的伟大之处在于他深刻认识到如何用几何学的方法来认识三维流形的拓扑学。

　　打破僵局

　　数学家们都知道，自从19世纪德国数学家黎曼的时代开始，两维空间只有3种可能的形状：像纸一样的平面、像球一样的封闭体或是像马鞍和喇叭一样反向均衡的曲面。瑟斯顿猜测，8种不同的形状就可构成任何的三维空间。

　　摩根说：“瑟斯顿的猜想列出了一个清单，如果它是正确的，那么庞加莱猜想的证明则迎刃而解。” 瑟斯顿因几何化猜想而获得了1983年的菲尔茨奖。拓扑学家们努力发展一系列精致的工具来研究和分析形状，但一直没有进展。

　　20世纪80年代早期，美国哥伦比亚大学的理查德·汉密尔顿(Richard Hamilton)提出了一种名为“瑞奇流”(Ricci flow)的新工具，这一思想来源于爱因斯坦的广义相对论和弦理论。《美国数学会会志》的文章指出，汉密尔顿将在今年的国际数学家大会上作一小时的大会报告，据汉密尔顿的演讲稿摘要，“瑞奇流”是由他本人和哈佛大学的丘成桐发展起来的。

　　但是，汉密尔顿在“瑞奇流”的研究过程中遇到了一个重要问题：即在用曲率方法推动空间变化时遇到了奇异点，如何处理奇异点成为整个庞加莱猜想证明中最重要的一部分。

　　佩雷尔曼打破了僵局，他表明所有的奇异点都是友好的，它们会变化为球形或管状形，而且，一旦“瑞奇流”开始，这些变化是有时限的。这意味着拓扑学家可按自己的意愿切割空间，并让“瑞奇流”持续到最终，揭示了空间的拓扑学球形本质，同时证明了庞加莱猜想和瑟斯顿的几何化猜想。

　　2002年11月，佩雷尔曼将第一篇论文贴在网站上，《纽约时报》形容这篇文章似晴天霹雳。美国纽约州立大学石溪分校的迈克·安德森说：“在此之前没有人知道他在做庞加莱猜想。”

　　千锤百炼的证明

　　佩雷尔曼1966年6月出生于俄罗斯的圣彼得堡，1982年，高中时代的他赢得国际奥林匹克数学竞赛金奖，之后他在圣彼得堡获得博士学位，并加入位于圣彼得堡的斯捷克洛夫数学所。20世纪90年代早期，他在美国做了几个博士后研究。作为同事，加州大学洛杉矶分校的格林博士对他的印象是“超凡脱俗的人”，友好、害羞、对物质财富没有兴趣。格林说：“他像魔僧拉斯普钦，留着长发和长指甲，”他的兴趣是躲在圣彼得堡附近的森林里找蘑菇。

　　1995年，佩雷尔曼回到了圣彼得堡的森林——斯捷克洛夫数学所。1996年，他拒绝欧洲数学学会颁布的年轻数学家奖。在他关于庞加莱猜想的论文出现之前，部分朋友认为佩雷尔曼离开了数学界。尽管佩雷尔曼的论文晦涩难懂，却激起了专家们深深的兴趣。

　　2003年春天，佩雷尔曼重返美国，在石溪分校、麻省理工学院、哥伦比亚大学和普林斯顿大学作了系列演讲后，再次回到圣彼得堡，他逐渐不再回应外界的联系，并拒绝所有记者的采访。安德森说：“他曾经来过，作了解释，这就是一切，其他的事情都是多余的。”

　　《美国数学会会志》的文章指出，在佩雷尔曼消失期间，数学家们前赴后继地开始努力证明他的工作，但这项工作异常困难，许多证明都是错误的。数学家们发现了论文中的一些差错，但都不严重。

　　耶鲁大学的克莱纳和密歇根大学的约翰·洛特(John Lott)开始详细解释佩雷尔曼对两个猜想的证明，2006年5月25日，他们的论文贴在预印论文网站(arXiv preprint server)上，俩人已计划将论文递交给期刊；哥伦比亚大学的摩根和普林斯顿大学的田刚根据佩雷尔曼的描述写出长达473页的详细论文，该论文一步一步证明了庞加莱猜想，但没有详细证明几何化猜想，2006年7月25日，论文贴在同样的预印论文的网站上。摩根说：“所有的工作都是佩雷尔曼做的，我们只是对它进行解释。”

　　《纽约时报》指出，这两项工作都是在克莱研究所的资助下完成的，两篇论文也贴在该研究所的网站上。与此同时，美国里海大学的曹怀东和中国中山大学的朱熹平也将长达328页的论文发表在2006年6月号《亚洲数学期刊》上，这篇论文同时完全证明了庞加莱猜想和几何化猜想。《美国数学会会志》的文章指出，俩人的论文并没有作为预印本散发，《亚洲数学期刊》的网站刚开始只有论文的摘要但没有全文(编者注：6月13日期刊的网页上已有论文的全文)。期刊的主编丘成桐在2006年5月的一次采访中说，论文形成一年多的时间，经过了严格的评审，“我们非常小心不要它传播出去，以确保在付印前所有的细节都是正确的”。

　　《纽约时报》的文章认为，尽管这些工作都经过专家们的千锤百炼，但它们仍需要接受更严格的

　　审查甚至交锋。克莱纳说：“谨慎是应该的，因为庞加莱猜想不仅著名，而且重要。”

　　不拘一格承认天才

　　令人深思的是，佩雷尔曼的论文不仅没有发表在著名期刊上，甚至也没有发表在任何期刊上，但他的天才思想得到了国际数学界的充分重视和认可。

　　《纽约时报》的文章说，2003年，佩雷尔曼在麻省理工学院的一次演讲中称自己在某种程度上是汉密尔顿的信徒，尽管两人从未共同工作过。1966年，汉密尔顿获得普林斯顿大学的博士学位，今年，他因年龄超过40岁而无缘菲尔茨奖。克莱数学研究所所长卡尔森说，按照克莱千禧年奖金的规定，证明问题的论文要经过两年的时间考验，两年后，如果证明经受了时间的考验，那么研究所将任命一个专门委员会来推荐获奖者名单。但他指出：“没有任何规则可阻止佩雷尔曼获得全部或部分奖金。”他认为佩雷尔曼和汉密尔顿在庞加莱猜想的证明中作出了主要贡献。他说：“佩雷尔曼是一位非凡的天才，他按自己的方式行事，我认为最重要的是他写出三篇论文并将它们贴在arXiv网站上，这给了数学家们一个大礼物，有许多观点和事情值得思考。”

　　《美国数学会会志》的文章说，尽管佩雷尔曼的论文没有按传统意义递交给同行评审的期刊，但这些贴在网上的论文在3年半的时间里经受了非同寻常的严格审查，在这段时间里，专家们没有发现严重问题，从而相信它们的正确性。

　　在《纽约时报》的文章中，安德森认为，从某种意义上讲，新一轮的论文就是对佩雷尔曼工作的同行评审。他说：“学术界接受了他的工作的正确性。学术界的共同努力值得赞扬。”

来源：科学时报