1、选题背景

　　荷兰一位数学教育专家达朗其1996年在ICME-8的大会报告中曾介绍过他们的一堂课：81名家长出席学校家长会，每张桌子可坐6人，需要布置多少张桌子？第一类学生通过具体地摆桌子来解决问题；第二类学生用图示的方法经历了摆桌子、运用加法解决了问题；第三类学生借助图示思考后、运用乘法的逆运算即除法解决了问题。实际上如果学生被形式化训练后，也可以直接想到运用除法进行计算(第四类)。但他最后指出，只有第三类才经历了具体到形式的抽象、真正体验到了“数学化”的含义。这位数学教育家援用小学“有余数的除法”的例子向我们揭示出：“数学化”是学生学习数学的本质之一。

　　2、注重技巧的原行为

　　以往的授课中，通常是教师一上来就是先让学生区分“等分除”与“包含除”。什么是“等分”、什么是“包含”，十分繁琐。原来，教师是因为学生做除法题目时容易把商和余数的“名数”弄混，因此要训练学生纠正错误。这种做法，一开始就把时间和重点放在这些枝节上，与“有余数”这个教学要点相去甚远。

　　有余数除法中，有一个很关键的技巧是“试商”，只有“商”对了，学生才能做出题目来。因此教师出示了大量的“括号里最大能填几”的题目让学生练习“试商”，如6×(? )<41等。但是“试商”的意义究竟是什么，学生没有理解，教师在这里只是一个技巧性的铺垫。

　　这节课还有一个重点，就是让学生发现“余数要比除数小”。教师希望学生通过观察排列整齐的算式，如16÷5=3……1、17÷5=3……2、18÷5=3……3、19÷5=3……4四个式子，学生能够找到规律。学生却“启而不发”，回答总是“不知道”。最后时间不多了，教师只好提问“余数1、2、3、4比除数5大还是小？”，这样学生终于“发现”了“余数比除数小”。这样的过程中学生没有真正的思考和探究，无异于教师直接告诉学生结果。这样一节课，忘记了对小学生来说数学就是生活，学数学就是对他们日常生活经验的“数学化”过程。

　　3、注重“数学化”的新理念

　　在注重“数学化”的新理念的引领下，研究人员和教师重新设计了这节课。结合当地是郊区的特点，学生对于“豆子”比较熟悉，有一定的生活经验背景，我们决定让学生通过“分豆子”来学习有余数的除法。

　　教师为学生提供一些盘子和豆子，比如7粒豆子如何平均分到3个盘子里，学生通过动手分的过程，理解了要分的7粒豆子就是“被除数”、盘子数3就是“除数”、每个盘子里放的豆子数2就是“商”，而“余数”就是“不能再分时剩下的1粒豆子”。这样，在学生的实物操作和算式表达之间建立了一一对应的关系，从实物到算式是一个“形式化”的过程；从算式返回到实物则是一个“寻找意义”的过程，“试商”就是尝试盘子里能放几粒豆子的过程，学生在动手操作中发现了“余数比除数小”——因为“如果余下的豆子数比盘子数多、就还可以再分”。学生甚至还发现：“被除数=除数×商+余数”，多好的本原性思考！高等代数里深奥的“余数定理”在小学就准备了认知的固着点。

　　4、创造新行为：“脑中分豆子”

　　但上述过程也面临着“学生获得”方面的困惑：第一，如果教学的结果使学生做除法要依赖“拿豆子来”——只会动手做、不会动脑想，那么尽管课堂热热闹闹，却陷入了数学教学的浅薄与贫乏；第二，如果这种“分豆子”的活动仍然没有促进学生形式化的算法理解，教师最后不得不将除法的操作程序教给学生，那么创设情境兜了一大圈，还是回到死记硬背的老路。

　　教师创造性地采用了“动手分豆子——脑中分豆子——算式运算”这样一个非常重要的教学策略：设计了“实物到算式”之间的一个中介活动，即“放掉豆子和盘子，在脑中分豆子”，帮助学生越过了形式化的难关，体验到了数学化的过程。事实上，上述“分豆子”活动过程，生动地揭示了布鲁纳知识发展三水平的认知理论，其中脑中分豆子的方法是一种“表象操作”，它是从“实物操作”到“符号操作”的中介。儿童学习数学就是在具体、半具体、半抽象、抽象之间的铺排，是穿行于实物与算式之间的形式化过渡。

　　5、学生学习的主动性增强

　　我们应用录像带分析技术，对前后两节课中学生“寻找规律”(“余数比除数小”)这一片段做了弗兰德斯语言互动分析，结果发现：课堂静止或不理解的时间、教师指示或命令、批评或辩护权威行为的语言在改进课中下降为零，教师演讲、学生按老师要求表述的语言明显减少；而教师的提问、学生主动表达自己的发现的语言在改进课中明显增加，教师接纳学生感觉的语言也有上升。

　　6、本案例的呈现结构

　　这一视频案例主要由三个板块组成：教学案例、案例纪实资料、案例相关资源。其中第一板块是核心，是文本案例的视频化表现形式，它包括教学案例的主题、背景、过程和结果，目的是让观看者对该视频案例有一个总体概观。第二板块与第三板块是围绕“教学案例”的相关信息，“案例纪实资料”主要包括完整的课堂录像、课堂的观察数据、课堂前后对教师和学生的访谈、课堂前后的研讨等资料，目的是便于观看者从不同角度对教学案例进行再加工；“案例相关资源”则是与教学案例有关的一些材料、网页甚至网站，我们把它分为相关理论、相关研究、相关课件、相关网站等，目的是为教师提供自我研修的学习资源。