文/小潘

　　各位学友好！

　　首先让我们分析一下线性代数考试卷（本人以1999年上半年和下半年为例）

　　我个人让为，先做计算题，填空题，然后证明题，选择题等（一定要坚持先易后难的原则，一定要。旁边有某些同志说：“这些都是屁话，我们都知的快快转入正题吧！”）

　　把选择题第8题拉出来让大家看看

　　n(n>1)阶实对矩阵A是正定矩阵的充份必要条件是（）

　　A．A是正定二次型f(x)=x(A)x的矩阵

　　B．A是各阶顺序主子式均大于等于零（书本的p231定5.9知，大于零就可以了，明显也是错的）

　　C．二次型f(x)=xTAx的负惯性指数为零

　　D．存在n阶矩阵C，使得A=CTC（由书本的P230知，存在非奇异N阶矩阵C，使A=CTC)很明显，这个选择是错了）

　　各位学友在做选择题时要仔细呀！

　　证明题

　　先讲1999年下半年

　　设A，B，C均为n阶矩阵，若ABC=I,这里I为单位矩阵，求证：B为可逆矩阵，且写出的逆矩阵？

　　证的过程：己知ABC=I，|ABC|=|I|不等于零，|A|*|B|*|C|不等于零，得出|B|不等于零。所以B是可逆矩阵。

　　求其逆矩阵，ABC=I，两边同时右乘C-1得AB=C-1,接下来左乘以A-1得B=A-1C-1，最后BC=A-1,BCA=I,于是得B-1=CA(不知各位学友有没有更简便的方法谢谢告之）

　　对这题做后的心得，本人认为一定要记得，a逆阵可逆的充分必要条件是行列式|a|不等零（切记，还有如ab=i,那么a-1=b）

　　对了还有，在求解逆矩阵，最简单方法是用初等行变换

　　公式法吗！容易出错，只适合求解比较特殊的

　　下面这些是相关的证明题

　　设B矩阵可逆，A矩阵与B矩阵同阶。且满足A2+AB+B2=O，证明A和A+B都是可逆矩阵？（相信大家都能做出）

　　己知i+ab可逆，试证I+BA也可逆？

　　接下来看看1999年上半年的

　　设n阶方阵A与B相似，证明：A和B有相同的特征多项式？

　　应搞清楚下面的概念

　　什么是特征多项式呢（1）

　　什么是特征值呢（2）

　　什么还有特征向量（3）

　　什么是相似矩阵（4）

　　λI-A称为A的特征矩阵；|λI-A|称为A的特征多项式；|λI-A|=0称为A的特征矩阵，而由些求出的全部根，即为A的全部特征值。

　　对每一个求出特征值λ，求出齐次方程组(λI-A)x=o的基础解是&1,&2,&3...&s,则k1&1+k2&2+...ks&s即是A对应于 λ的全部特征向量（其中，k1...ks不全为零）

　　相似矩阵：设A，B都是n阶方阵，若存在n阶可逆阵p，使得p-1ap=b,则称A相似于B，记为A~B(相拟矩阵有相同的行列式，相同的秩，相同的特征值）

　　我觉得有这么一题使终我还是一知半解的，拉出来让大家看看：

　　设A为4阶方阵，A*为A的伴随矩阵，若|A|=3，则|A*|=?,|2A*|=?

　　这题答案是27，432

　　怎么算的呢？这个具体我也不太清楚，我是用自己的方法，|A|N-1=|A*|,这个N代表多少阶，如是4阶那么3^3=27,后面那个，切记：把2提出行列式以外，看A是几阶行列式，4阶就提4次，2^4*3^3=432(可能书上不是这样的，我只是根据其习题答案推论出来的）

　　应注意的问题：区为行列式和矩阵之间的区别，特别是用一个不为零的数K乘以行列式或矩阵，前者只是乘以某一行或列，后者则是每一个元素都要乘！

　　很容易搞不零清的：线性相关或无关和什么情况下线性方程组有解或无解，还有什么极大无关组，基础解系，特征值，多项式，特征向量，相似矩阵有哪些性质， 正交矩阵的充分心要条件，二次型化成标准型。

　　摘自自学天地